Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；
（3）求出D到平面EFG的距离．

Answer 1

分析：（1）由已知可得EG∥PB，从而可证EG∥平面PAB，则只要再证明EF∥平面PAB，即证EF∥AB，结合已知容易证，根据平面与平面平行的判定定理可得
（2）若使得PC⊥平面ADQ，即证明PC⊥平面ADE，当Q为PB的中点时，PC⊥Ae，AD⊥PC即可
（3）结合已知可考虑利用换顶点V_D-EFG=V_G-EFD，结合已知可求

解答：（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG∥PB
∴EG∥平面PAB
又E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又AB∥CD
∴EF∥AB
∵EF?p平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB
又∵EG，EF?平面EFG，EG∩EF=E
∴平面PAB∥平面EFG
（2）Q为PB的中点，连QE，DE，又E是PC的中点，
∴QE∥BC，又BC∥AD∴QE∥AD
∴平面ADQ即平面ADEQ∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，
∴等腰直角三角形PDC
由E为PC的中点知DE⊥PC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AD又AD⊥DC
∴AD⊥面PDC
∴AD⊥PC，且AD∩DE=D
∴PC⊥平面ADEQ，即证PC⊥平面ADQ
（3）连DG，取AD中点H，连HG，HF，设点D到平面EFG的距离为h．H，G为AD，BC中点可知HG∥DC，又EF∥DC
∴HG∥EF
∴G到EF的距离即H到EF的距离
∵PD⊥DC，AD⊥DC
∴DC⊥面PAD，又EF∥DC
∴EF⊥面PAD
∴EF⊥HF
∴HF为G到EF的距离，由题意可知EF=1，HF=

2

，S△EFG=

1

2

×1×

2

=

2

2

∵AD⊥面PDC，GC∥AD
∴GC⊥面PDC
∴G到面EFD的距离为CG=1
又可知EF=DF=1，S△EFD=

1

2

×1×1=

1

2

∴VD-EFG=VG-EFD∴

1

3

×

2

2

×h=

1

3

×

1

2

×1∴h=

2

2

点评：本题主要考察了面面平行的判定定理的应用，线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，线面 垂直的判定定理的应用，及利用换顶点求解三棱锥的体积等知识的综合应用，此类试题也是立体几何的重点考察的试题类型