Question

在直角坐标系xOy中，点M到点F₁(-

3

，0)、F₂(

3

，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y=kx+

2

与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使

OP

•

OQ

=0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为2

3

的椭圆，由此可求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）将y=kx+

2

，代入曲线C的方程，整理得(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0．然后利用根与系数的关系求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）∵点M到(-

3

，0)，(

3

，0)的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为2

3

的椭圆，其方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）将y=kx+

2

，代入曲线C的方程，
整理得(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0．①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由方程①，得x1+x2=-

8 2 k

1+4k2

，x1x2=

4

1+4k2

．②
又y1•y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k2x1x2+

2

k(x1+x2)+2．③
若

OP

•

OQ

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
将②、③代入上式，解得k=±

6

2

．
又因k的取值应满足△＞0，即4k²-1＞0（*），
将k=±

6

2

代入（*）式知符合题意．

点评：本题考查椭圆的轨迹方程和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细作答．