Question

【题目】如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）这样的直线不存在.详见解析

【解析】

（1）设，，则，，且，通过，转化求解即可．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为，则点Q的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可．

（1）设，，

则，，

由题意知，所以为中点，

由中点坐标公式得

，

即，

又点在圆：上，故满足

，

得.

（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，

设直线的方程为，

因为，故，即 ①，

联立，

消去得：，

设，，

，，

，

因为为平行四边形，故，

点在椭圆上，故，整理得，②，

将①代入②，得，该方程无解，

故这样的直线不存在.