Question

从原点O引圆（x-m）²+（y-3）²=m²+4的切线y=kx，切点为P，当m变化时，
（1）求切点P的轨迹方程．
（2）记P的轨迹为曲线C，判断直线

3

x+y-4=0与曲线C的位置关系，若相交，求出相交弦的长度．

Answer 1

分析：（1）设切点P的坐标为（x，y），利用切线过原点，则k=

y

x

（x≠0），通过k•k_PM=-1，以及切点在圆上，推出轨迹方程．
（2）判断轨迹方程是圆的方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，利用垂径定理求出弦长即可．

解答：解：（1）设切点P的坐标为（x，y），
因为切线过原点，则k=

y

x

（x≠0），
（x-m）²+（y-3）²=m²+4的圆心M的坐标为（m，3），
则kPM=

y-3

x-m

由于圆M与直线相切，
所以k•k_PM=-1，

y

x

•

y-3

x-m

=-1①
（x-m）²+（y-3）²=m²+4
可化为x²-2mx+y²-6y=-5②
由①②可得P的轨迹方程为x²+y²=5（x≠0）（8分）
（2）由（1）知，曲线C的圆心为C（0，0），
半径r=

5

，圆心到直线的距离
d=2＜r，故曲线C与直线

3

x+y-4=0相交，
设曲线C与直线

3

x+y-4=0交于AB两点，
AB的中点为D，则CD⊥AB，
在Rt△ACD，|AD|=

r2-d2

=1，
故|AB|=2|AD|=2（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，垂径定理的应用，考查计算能力．