Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先求直线的方程，即得B坐标，有；再将N坐标代入椭圆方程解得a（2）设直线的斜率为，解得P点坐标，根据中点坐标公式得Q，利用直线方程与椭圆方程联立方程组解得M,N，根据横坐标之间比例关系求k,即得直线的方程．

试题解析：解：（1）由，得直线的方程为．

令，得点的坐标为．

所以椭圆的方程为．

将点的坐标代入，得，解得．

所以椭圆的标准方程为．

（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．

在中，令，得，而点是线段的中点，所以．

所以直线的斜率．

联立，消去，得，解得．

用代，得．

又，所以，得．

故，又，解得．

所以直线的方程为．

方法二：设点的坐标分别为．

由，得直线的方程为，令，得．

同理，得．

而点是线段的中点，所以，故．

又，所以，得，从而，

解得．

将代入到椭圆C的方程中，得．

又，所以，即，

解得（舍）或．又，所以点的坐标为．

故直线的方程为．