Question

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，下面四个函数：①f（x）=1；②f（x）=x²；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f(x)=

x

x2+x+1

其中属于有界泛函数的是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

分析：根据有界泛函数的定义，逐个验证，对于①取x=0，即可说明①不是有界泛函数；对于②采取反证法，f（x）=x²是有界泛函数，则x²≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函数；对于③利用三角函数的有界性即可证明③是有界泛函数；对于④求函数f(x)=

1

x2+x+1

的最大值即可证明④是有界泛函数；从而得到选项．

解答：解：函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，
∴①取x=0，则|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函数；
②若f（x）=x²是有界泛函数，则x²≤M|x|，取x=M+1，则有（M+1）²＞M（M+1），故与假设矛盾，因此②不是有界泛函数；
③f（x）=（sinx+cosx）x≤

2

|x|，故③是有界泛函数；
④f(x)=

x

x2+x+1

≤

4

3

|x|，故④是有界泛函数；
故选C．

点评：此题是个中档题题．考查函数恒成立问题，以及三角函数的有界性和二次函数配方法求最值等基础知识，同时考查了学生的阅读能力，对题意的理解和转化能力，以及灵活应用知识分析解决问题的能力．