Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：对于（1）要证明EF∥平面CB₁D₁，只需证明EF平行于面CB₁D₁内的一条直线即可，
E、F为棱AD、AB的中点，易证EF∥BD，而BD∥B₁D₁，从而得证；
对于（2），要证平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．只需证明平面CB₁D₁内的一条直线与面CAA₁C₁垂直即可，
而容易证明B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥AA₁，从而可以证明B₁D₁⊥平面CAA₁C₁从而得证；
对于（3），正方体表面上两点之间的最小距离问题，可以用侧面展开图解决，将正方体表面展开，
求EF两点之间的距离即可．
解答：解：（1）证明：连接BD．
在长方体AC₁中，对角线BD∥B₁D₁．又∵E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD．∴EF∥B₁D₁．又B₁D_1⊥平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，∴EF∥平面CB₁D₁．
（2）∵在长方体AC₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．
又∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．
又∵B₁D₁平面CB₁D₁，∴平面CAA₁C₁⊥平面CB1D1．
（3）最小值为
∴如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，
而且依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中点，所求的最小值为
点评：本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定，立体几何表面距离最短问题，都用到转化的思想：将线面平行转化为线线平行，将面面垂直转化为线面垂直，空间距离转化为平面上两点间距离问题来处理，要注意体会转化思想的应用．