Question

【题目】如图，已知在等腰梯形中，，，，，=60°，沿，折成三棱柱．

(1)若，分别为，的中点，求证：∥平面；

(2)若，求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

分析：（1）取的中点，连接，，在三角形中，得到，证得平面，又由，分别为，的中点证得平面，即可证得面平面，利用面面平行的性质，即可得到平面.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．

详解：（1）取的中点，连接，，在三角形中，

∵，分别为，的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面.

由于，分别为，的中点，由棱柱的性质可得，

∵平面，平面，∴平面.

又平面，平面，，

∴平面平面，∵平面，

∴平面.

（2）连接，在中，，，

∴，又，，

∴，∴，又且，

∴平面.

建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，，，，

，，.

设平面的法向量为，

则，则，令，

得，则为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则，

则，令，得，

∴为平面的一个法向量.

设，所成角为，则，

由图可知二面角的余弦值为.