Question

空间直角坐标系O-xyz有8个点：P₁（1，1，1）、P₂（-1，1，1）、…、P₇（-1，-1，-1）、P₈（1，-1，-1）（每个点的横、纵、竖坐标都是1或-1），以其中4个点为顶点的三棱锥一共有

58

个（用数字作答）．

Answer 1

分析：根据题意，易得P₁、P₂、…、P₇、P₈正好是一个正方体的8个顶点，进而计算在这8个点中任取4个的情况数目，再分析其中4点共面的两种情形：①在正方体的表面上，②在正方体的对角面上，可得其中4点共面的情况数目，相减可得其中不共面的情况数目，由三棱锥的结构特点，可得以这8点中的其中4个点为顶点的三棱锥的个数．

解答：解：根据题意，易得P₁、P₂、…、P₇、P₈正好是一个正方体的8个顶点，
从这8个点中任取4个，有C₈⁴=70种情况，
其中4点共面的有两种情形：①在正方体的表面上，有6种情况，
②在正方体的对角面上，有6种情况，共6+6=12种共面的情况；
不共面的情况有70-12=58种，每种不共面的情况可以得到一个三棱锥；
则可以得到三棱锥有58个；
故答案为58．

点评：本题考查排列组合的运用，涉及正方体的几何结构，注意分析四点共面的情况时，容易忽略正方体的对角面这种情况．