Question

给定实数a，b，c．已知复数z₁、z₂、z₃满足

|z1|=|z2|=|z3     (1) z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 =1    (2)

求|az₁+bz₂+cz₃|的值．

Answer 1

分析：注意到条件（1），不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要条件进行求解．

解答：解：法一由|z₁|=|z₂|=|z₃|=1，可设

z1

z2

=cosθ+isinθ，

z2

z3

=cosφ+isinφ，
则

z3

z1

=

1

z2 z3 • z1 z2

=cos（θ+φ）-isin（θ+φ）．因

z1

z2

+

z2

z3

+

z3

z1

=1，其虚部为0，
故0=sinθ+sinφ-sin（θ+φ）=2sin

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

-2sin

θ+φ

2

cos

θ+φ

2

=2sin

θ+φ

2

（cos

θ-φ

2

-cos

θ+φ

2

）=4sin

θ+φ

2

sin

θ

2

sin

φ

2

．
故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．
若z₁=z₂，代入（2）得

z3

z1

=±i，此时
|az₁+bz₂+cz₃|=|z₁|?|a+b±ci|=

(a+b)2+c2

．
类似地，如果z₂=z₃，则|az₁+bz₂+cz₃|=

(b+c)2+a2

；
如果z₃=z₁，则|az₁+bz₂+cz₃|=

(a+c)2+b2

．
解法二由（2）知

z1

z2

+

z2

z3

+

z3

z1

∈R，
故

z1

z2

+

z2

z3

+

z3

z1

=

.

z1 z2 + z2 z3 +  z3 z1

，
即

z1

z2

+

z2

z3

+

z3

z1

=

. z1

. z2

+

. z2

. z3

+

. z3

. z1

．
由（1）得z_k=

1

zk

（k=1，2，3），代入上式，
得

z1

z2

+

z2

z3

+

z3

z1

=

z2

z1

+

z3

z2

+

z1

z3

，
即z₁²z₃+z₂²z₁+z₃²z₂=z₂²z₃+z₃²z₁+z₁²z₂，
分解因式，得（z₁-z₂）（z₂-z₃）（z₃-z₁）=0，
于是z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．下同解法一．

点评：①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：z∈R?z=

.

z

，以及视

z1

z2

，

z2

z3

等为整体，从而简化了运算．
②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果．