Question

16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4）且f（3）=0，则方程f（x）=0在区间（0，10）内整数根有（　　）

• A． 4个
• B． 5个
• C． 6个
• D． 7个

Answer 1

分析 由已知函数为奇函数，求出函数的周期为4可得f（0）=0⇒f（4）=f（8）=0，由f（3）=0⇒（7）=0，又f（-3）=0⇒f（1）=f（5）=f（9）=0，从而可得结果．

解答 解：由已知可知f（3）=0，
因为f（x）是R上的奇函数，所以f（-3）=-f（3）=0，f（0）=0，
又因为函数的周期为4，即f（x+4）=f（x），
所以f（0）=f（4）=f（8）=0，f（3）=f（7）=0，f（-3）=f（1）=f（5）=f（9）=0，
所以方程f（x）=0在x∈（0，10）的根有 1，3，4，5，7，8，9，共7个．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质，还要具备一定的综合论证的解题能力．