Question

设f（x）=（k+1）x²-（2k+1）x+1，x∈R．
（1）若f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若x∈（1，2）时，f（x²+2^x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当k＜0时，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）f（x）＞0恒成立，等价于

k+1＞0 △=(2k+1)2-4(k+1)＜0

，从而可求实数k的取值范围；
（2）换元，x∈（1，2）时，f（x²+2^x）＞0恒成立，等价于3＜t＜8时，（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，分离参数，可得-k＜

t2-t+1

t2-2t

，求出函数的最值，即可求实数k的取值范围；
（3）分类讨论，确定对应方程根的情况，可得不等式的解．

解答：解：（1）f（x）＞0恒成立，等价于

k+1＞0 △=(2k+1)2-4(k+1)＜0

∴-

3

2

＜k＜

3

2

；
（2）令t=x²+2^x，在（1，2）上是增函数，所以3＜t＜8
x∈（1，2）时，f（x²+2^x）＞0恒成立，等价于3＜t＜8时，（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，
∴-k＜

t2-t+1

t2-2t

令g（t）=

t2-t+1

t2-2t

=1+

t+1

t2-2t

，令u=t+1，u∈（4，9）
则G（u）=1+

u

u2-4u+3

=1+

1

u+ 3 u -4

∵

1

u+ 3 u -4

在（4，9）上是增函数，且

3

4

＜

1

u+ 3 u -4

＜

16

3

∴

19

16

＜G（u）＜

7

3

∴-k≤

19

16

，∴k≥-

19

16

；
（3）△=4k²-3
1°-

3

2

＜k＜0时，k+1＞0，△＜0，原不等式解为一切实数；
2°k=-

3

2

时，k+1＞0，△=0，原不等式解为{x|x≠5-3

3

}；
3°-1＜k＜-

3

2

时，k+1＞0，△＞0，原不等式解为{x|x＞

2k+1+ 4k2-3

2(k+1)

或x＜

2k+1- 4k2-3

2(k+1)

}；
4°k=-1时，原不等式解为x＞-1
5°k＜-1时，k+1＜0，△＞0，原不等式解为（x|

2k+1- 4k2-3

2(k+1)

＜x＜

2k+1+ 4k2-3

2(k+1)

}

点评：本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．