Question

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断曲线，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|x∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx（0≤x≤

n

2

），试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，

n

2

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f1（x）=0，f2（x）=2sinx，x∈[0，

π

2

]，于是f₂（x）-f₁（x）=2sinx．若f（x）是[0，

π

2

]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，

π

2

]上恒成立，且?x₁∈[0，

π

2

]使得2sinx＞（k-1）x成立，构造函数φ（x）=sinx-x，x∈[0，

π

2

]，可得2sinx≤2x在[0，

π

2

]恒成立，由此可得结论；
（2）先对函数g（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出g₁（x）、g₂（x）的解析式，分类讨论，利用g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可得，f1（x）=0，f2（x）=2sinx，x∈[0，

π

2

]
于是f₂（x）-f₁（x）=2sinx．
若f（x）是[0，

π

2

]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，

π

2

]上恒成立，且?x₁∈[0，

π

2

]使得2sinx＞（k-1）x
成立．
令φ（x）=sinx-x，x∈[0，

π

2

]，则φ′（x）=cosx-1＜0，所以φ（x）=sinx-x在[0，

π

2

]单调递减，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0，

π

2

]，即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0，

π

2

]恒成立；
又?x₁=

π

2

，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整数k=2，使f（x）为[0，

π

2

]上的“2阶收缩函数”． 
（2）g'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），令g'（x）=0得x=0或x=2．
令g（x）=0，解得x=0或3．
函数g（x），g′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）		0		4

（ⅰ）b≤2时，g（x）在[0，b]上单调递增，
因此，g₂（x）=g（x）=-x³+3x²，g₁（x）=g（0）=0．
因为g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①g₂（x）-g₁（x）≤2（x-0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g₂（x）-g₁（x）＞（x-0）成立．
①即：-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，由-x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²-3x+1）＜0成立．
由x（x²-3x+1）＜0得：x＜0或

3- 5

2

＜x＜

3+ 5

2

，所以，需且只需b＞

3- 5

2

．
综合①②可得：

3- 5

2

＜b≤1
（ⅱ）当b＞2时，显然有

3

2

∈[0，b]，由于g（x）在[0，2]上单调递增，
根据定义可得：g₂（

3

2

）=

27

8

，g₁（

3

2

）=0，可得g₂（

3

2

）-g₁（

3

2

）=

27

8

＞2×

3

2

=3，
此时，g₂（x）-g₁（x）≤2（x-0）不成立．
综合（ⅰ），（ⅱ）可得：

3- 5

2

＜b≤1．

点评：本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．