Question

【题目】已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.

（1）若，求的值；

（2）若，求证：数列是等差数列；

（3）若，，是否存在实数，使得对任意正整数恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）不存在满足条件的实数，见解析

【解析】

（1）由题得，所以，得，即得的值；

（2）利用累乘法得到，所以数列是等差数列，首项为，公差为，求出，，所以，再证明数列是等差数列；

（3）原题等价于，不妨设，即对任意正整数（）恒成立，即对任意正整数恒成立，再证明当且时，，即得解.

（1）解：由，令，得，

因为数列的各项均为非零实数，所以，

所以，

所以.

（2）证明：由得：

，……，，相乘得：，

因为数列的各项均为非零实数，所以，

当时：，所以，

即，

即，

因为，所以，

所以数列是等差数列，首项为，公差为，

所以，所以，

所以，，所以，

所以，所以数列是等差数列.

(3) 解：当，时，由(2)知，所以，即，

不妨设，则，，所以，

即对任意正整数（）恒成立，

则，即对任意正整数恒成立，

设，

时，；时，；

时，；时，；

时，；

当时，，

所以时，.

所以时，，

令或（舍去）.

所以当且时，，

所以不存在满足条件的实数.