Question

在3.11日本大地震后对福岛核电站的抢险过程中，海上自卫队准备用射击的方法引爆从海上游漂流过来的一个大型汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是

2

3

．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及Eξ．（结果用分数表示）

Answer 1

分析：（1）设命中油罐的次数是X，则当X=0或X=1时，油罐不能被引爆．由此利用对闰事件能求出油罐被引爆的概率．
（2）射击次数ξ的取值为2，3，4，5，P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，P（ξ=3）=

C

1 2

×

2

3

(1- 

2

3

)×

2

3

 =

8

27

，P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）设命中油罐的次数是X，
则当X=0或X=1时，油罐不能被引爆．
P（X=0）=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P（X=1）=

C

1 5

 ×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
∴油罐被引爆的概率P=1-P（X=0）-P（X=1）=

232

243

．
（2）射击次数ξ的取值为2，3，4，5，
P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（ξ=3）=

C

1 2

×

2

3

(1- 

2

3

)×

2

3

 =

8

27

，
P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

∴Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．