Question

设函数f(x)=

a

•(

b

+

c

)，其中向量

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(sinx，-3cosx)，

c

=(-cosx，sinx)，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量

d

平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的

d

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用向量的运算法则及三角函数的倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式求．
（Ⅱ）用整体代换的方法求出平移后得到的图象的所有对称中心，即求得

d

，通过二次函数的最值求．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=a•（b+c）=（sinx，-cosx）•（sinx-cosx，sinx-3cosx）
=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=2+cos2x-sin2x=2+

2

sin（2x+

3π

4

）．
所以，f（x）的最大值为2+

2

，最小正周期是

2π

2

=π．
（Ⅱ）由sin（2x+

3π

4

）=0得2x+

3π

4

=k．π，即x=

kπ

2

-

3π

8

，k∈Z，
于是d=（

kπ

2

-

3π

8

，-2），|d|=

( kπ 2 - 3π 8 )2+4

，k∈Z．
因为k为整数，要使|d|最小，则只有k=1，此时d=（-

π

8

，-2）即为所求．

点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力