Question

已知圆C经过点A（1，2）、B（3，0），并且直线m：2x-3y=0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，3），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点E、F，若|EF|≥2

3

，求k的取值范围；
（3）若圆C关于点(

3

2

，1)对称的曲线为圆Q，设M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）（x₁≠±x₂）是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为M₁，点M关于x轴的对称点为M₂，如果直线PM₁、PM₂与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，算出线段AB的中垂线方程为x-y-1=0，将其与直线m：2x-3y=0联解得

x=3 y=2

，可得圆心的坐标为C（3，2），由两点的距离公式算出半径r=2，即可得到圆C的方程；
（2）设圆心C到直线y=kx+3的距离为d，垂径定理得到EF长关于d的表达式，根据|EF|≥2

3

解出d≤1，再由点到直线的距离公式，建立关于k的不等式，解之即可得到k的取值范围；
（3）利用对称的公式，算出圆Q的方程为：x²+y²=4．根据直线的两点式方程求出直线PM₁以x₁、y₁为参数的方程，令x=0解出m=

x1y2-x2y1

x2+x1

，同理算出n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

，再根据x12+y12=4，x22+y22=4化简mn关于x₁、y₁、x₂、y₂的式子，即可得到m•n为定值4．

解答：解：（1）∵点A（1，2）、B（3，0），∴线段AB的中点为E（2，1），
∵直线AB的斜率k_AB=

2-0

1-3

=-1，AB中垂线的斜率为k=

-1

kAB

=1，
∴线段AB的中垂线方程为y-1=x-2，即x-y-1=0．
又∵圆C经过A、B两点，∴圆心在线段AB的中垂线上．
∵直线m：2x-3y=0平分圆C，∴直线m经过圆心C．
因此联解

x-y-1=0 2x-3y=0

，得

x=3 y=2

，即圆心的坐标为C（3，2），
从而圆C的半径r=|CB|=

(3-1)2+(2-2)2

=2，
∴圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=4；
（2）设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，
由弦长公式得：|EF|=2

4-d2

≥2

3

，解之得d≤1，
由点到直线的距离公式，得d=

|3k-2+3|

k2+1

≤1，
化简得 8k（k+

3

4

）≤0，解之得-

3

4

≤k≤0；
（3）∵圆C关于点(

3

2

，1)对称的曲线为圆Q，
∴点C（3，2）与点Q关于点(

3

2

，1)的对称，
即QC的中点为点(

3

2

，1)，可得Q（0，0）
因此，圆Q的方程为：x²+y²=4．
由于M（x₁，y₁）、p（x₂，y₂）是圆Q上的两个动点，
可得

M1(-x1，-y1)，

M2(x1，-y1)，

满足x12+y12=4，x22+y22=4，
由PM₁的方程

y+y1

y2+y1

=

x+x1

x2+x1

，令x=0求得与y轴的交点纵坐标是m=

x1y2-x2y1

x2+x1

由PM₂的方程

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，令x=0求得与y轴的交点纵坐标是n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

．
∵x12+y12=4，x22+y22=4，可得y12=4-x12，y22=4-x22，
∴m•n=

x22y12-x12y22

x22-x12

=

x22(4-x12)-x12(4-x22)

x22-x12

=4（定值）．

点评：本题着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、方程组的解法和等式的化简等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力和数形结合的数学思想，属于中档题．