Question

已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B。
（1）若∠APB=60°，求线段AB的长；
（2）当∠APB最大时，求点P的坐标；
（3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意知，△PAB为等边三角形，所以线段AB的长就是切线长PA，
法一：∵∠APB=60°，由题可知MP=2，
∴；
法二：∵∠APB=60°，
∴等腰三角形MAB中，∠AMB=120°
而半径MA=1，
∴；
（2）记∠APB=2θ，则在直角三角形MAP中，有，
当∠APB最大时，有MP最小，此时MP垂直于直线直线l：x-2y=0，
设P（2m，m），
∵M（0，2），
∴，
∴，
∴点P坐标为；
（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：
化简得：，
此式是关于m的恒等式，
故解得或，
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（1，1）。