Question

已知向量

a

，

b

均为单位向量，它们的夹角为60°，实数x、y满足|x

a

+y

b

|=1，则x的取值范围是

-

2 3

3

≤x≤

2 3

3

．

Answer 1

分析：先进行化简，把问题转化为一元二次方程有实数根即可求出．

解答：解：∵向量

a

，

b

均为单位向量，它们的夹角为60°，∴|

a

|=1，|

b|

=1，

a

•

b

=1×1×cos60°=

1

2

．
∵实数x、y满足|x

a

+y

b

|=1，∴1=(x

a

+y

b

)2，展开化为y²+xy+x²-1=0．
把此方程看作关于y的一元二次方程且此方程有实数根，
则△=x²-4（x²-1）≥0，解得-

2 3

3

≤x≤

2 3

3

．
故答案为-

2 3

3

≤x≤

2 3

3

．

点评：熟练掌握数量积的运算和一元二次方程有实数根的充要条件是解题的关键．