Question

已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若

,.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

Answer 1

解: (1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t²=|m|，m0， m=-4t²，

     Q(-4t²，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t²-，0)，

   2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，

    x=4t²，y=2 t， y²=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。

   (2)由(1)，点P的轨迹方程是y²=x；设P(y²，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

     L=2

 =2=2 ……………10分

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=

 存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

 (2)存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。