Question

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量满足：．记y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若对任意，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）向量满足：．
∴
∵A、B、C是直线l上不同的三点
∴
∴
∴f（x）=；
（Ⅱ）∵，∴原不等式为．
得，或，①…（4分）
设，
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈上恒成立，
∵，，
∴g（x）与h（x）在上都是增函数，要使不等式①成立，
当且仅当或，∴，或．…（8分）
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b即为，
变形为．
令φ，
∴φ…（10分）
列表写出x，φ'（x），φ（x）在[0，1]上的变化情况：

x	0	（0，）		（，1）	1
?φ'（x）		小于0	0	大于0
?φ（x）	ln2	单调递减	取极小值	单调递增

…（12分）
显然φ（x）在（0，1]上的极小值也即为它的最小值．
现在比较ln2与的大小；
∵，∴．
∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使．
即实数b的取值范围为．…（14分）
分析：（Ⅰ）根据向量满足：，结合A、B、C是直线l上不同的三点，即可求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，原不等式为，得，或，分别求出对应函数的最小值与最大值，即可求得结论；
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b变形为，研究左边对应函数的最值，即可求得实数b的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查向量知识，考查函数的单调性与最值，考查函数与方程思想，属于中档题．