Question

（08年成都七中二模理） 如图，直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，

AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点.

   （1）求证：平面O₁AC平面O₁BD

   （2）求二面角O₁－BC－D的大小；

   （3）求点E到平面O₁BC的距离.

 

Answer 1

解析：（1）∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又OO₁//AA₁，AA⊥平面ABCD，

    OO₁⊥平面ABCD，∴BD⊥OO₁，OO₁AC=O，

    ∴BD⊥平面O₁AC，平面O₁BD⊥平面O₁AC……4分

   （2）过O作OF⊥BC于F，连接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁－BC－D的平面角，

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=.在Rt△O₁OF在，tan∠O₁FO=

∴∠O₁FO=60° 即二面角O₁―BC―D为60°……8分

（3）在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位线，∴OE∥O₁C

∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交线O₁F.

过O作OH⊥O₁F于H，则OH是点O到面O₁BC的距离，

∴OH=∴点E到面O₁BC的距离等于……12分

  

解法二：（2）∵OO₁⊥平面AC，∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，

又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，则A（2，0，0），B（0，2，0），

C（－2，0，0），O₁（0，0，3）

设平面O₁BC的法向量为=（x，y，z），

则⊥，⊥，

∴，则z=2，则x=－，y=3，

∴=（－，3，2），

而平面AC的法向量=（0，0，3）∴cos<，>=，

设O₁－BC－D的平面角为α，

∴cosα=∴α=60°. 故二面角O₁－BC－D为60°.

（3）设点E到平面O₁BC的距离为d，

∵E是O₁A的中点，∴=（－，0，），

则d=∴点E到面O₁BC的距离等于。