Question

设函数是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，（a∈R).

（1）当x∈(0，1］时，求的解析式；

（2）若a＞－1，试判断在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；

（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f(x)有最大值－6.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)=2ax－，x∈(0，1］；（2）见解析；

（3）存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.

【解析】(1)对于奇函数求对称区间上的解析式，根据奇函数的图像关于原点对称的特征，只须用-x，-y,分别代替原对称区间中的x,y,然后两边同乘以-1，即可得到所求区间上的解析式

(2)通过证明当a>-1时，判断在上的值的情况，进而确定f(x)在（0，1］上是否具有单调性

(3)本题本质是求函数f(x)在x∈（0，1）上的最大值因而，要对a进行讨论求最大值，然后利用最大值为-6，求出a值，再验证是否满意a的条件，进而判断出a值是否存在

（1）设x∈(0，1］，则－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，

∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］.                    

（2）证明：∵f′(x)=2a+，

∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.即f′(x)>0.

∴f(x)在（0，1］上是单调递增函数.  

（3）解：当a>－1时，f(x)在（0，1］上单调递增.

f(x)_max=f(1)=－6，a=－(不合题意，舍之），　

当a≤－1时，f′(x)=0，x=.

如下表：f_max(x)=f()=－6，解出a=－2.　x=∈(0，1).   

	（－∞，）		（，+∞）
	+	0	－
		最大值

∴存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.