Question

ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．
（1）求证：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（3）设二面角A-PC-B的大小为θ，试求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，PA⊥面ABCD，结合面面垂直的判定定理，我们易得平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，则OE∥PC，则直线PC与BD所成角等于直线OE与BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．
（3）A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连接AE．则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF，解三角形AEF，即可得到答案．
解答：证明：（1）∵PA⊥面ABCD，
PA?平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
解：（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：

∵O为BD的中点，则EO=PC==，且OE∥PC
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．
∴OB=BD=，BE=
∴|cos∠EOB|==；
即异面直线PC与BD所成角的余弦值为；
（3）过A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连接AE．则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=，∴，
在△PBC中，PB=，BC=2，∴，
在Rt△PEF中，，∴
在△PAF中，PF=，∴AF=1，
在△AEF中，，∴
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求示，其中求二面角，关键是要找到二面角的平面角，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题．