Question

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、O₁分别是AC、A₁C₁的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO（λ≠0）．
（Ⅰ）求证：λ取不等于0的任何值时都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）λ=2时，证明：平面CDE⊥平面CD₁O．

Answer 1

分析：（I）证明四边形D₁O₁BO是平行四边形，可得BO₁∥OE，利用线面平行的判定定理，可得结论；
（II）求出平面CD₁O的一个法向量、平面CDE的法向量，证明

DB1

•

n

=0，可得平面CDE⊥平面CD₁O．

解答：证明：（I）由题意，O、O₁分别是AC、A₁C₁的中点，
∴四边形D₁O₁BO是平行四边形，
∴BO₁∥OD₁
∴BO₁∥OE
∵OE?平面ACE，BO₁?平面ACE，
∴λ取不等于0的任何值时都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则可得D（0，0，0），B₁（1，1，1），O(

1

2

，

1

2

，0)，C（0，1，0），D₁（0，0，1）
∴

DB1

=（1，1，1），

CD1

=（0，-1，1），

OC

=(-

1

2

，

1

2

，0)
∴

DB1

•

CD1

=0，

DB1

•

OC

=0
∴DB₁⊥CD₁，DB₁⊥OC
∴平面CD₁O的一个法向量为

DB1

=（1，1，1），
∵λ=2，∴E（

1

3

，

1

3

，

1

3

）
又设平面CDE的法向量为

n

=（x，y，z）
∵

DC

=（0，1，0），

DE

=（

1

3

，

1

3

，

1

3

）
∴

y=0 1 3 (x+y+z)=0

∴可取

n

=（1，0，-1）
∴

DB1

•

n

=0
∴平面CDE⊥平面CD₁O．

点评：本题在正方体中研究线面平行和面面垂直的问题，考查了利用空间坐标系研究空间的垂直问题等知识点，属于中档题．