Question

给定矩阵A=

1 2 -1 4

，B=

5 3

．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂及对应特征向量α₁，α₂；
（2）求A⁴B．

Answer 1

分析：（1）由题意已知矩阵A=

1 2 -1 4

，将其代入公式|λE-A|=0，即可求出特征值λ₁，λ₂，然后解方程求出对应特征向量α₁，α₂；
（2）将矩阵B用征向量α₁，α₂，表示出来，然后再代入A⁴B进行计算．

解答：解：（1）设A的一个特征值为λ，由题知

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=0     2′
（λ-2）（λ-3）=0
解得λ₁=2，λ₂=3                                                          4′
当λ₁=2时，由

1 2 -1 4

x y

=2

x y

，得 A的属于特征值2的特征向量α₁=

2 1

      6′
当λ₁=3时，由

1 2 -1 4

x y

=3

x y

，得 A的属于特征值3的特征向量α₂=

1 1

       8′
（2）由于B=

5 3

=2

2 1

+

1 1

=2α₁+α₂                                     12′
故A⁴B=A⁴（2α₁+α₂）
=2（2⁴α₁）+（3⁴α₂）                                                   14′
=32α₁+81α₂
=

64 32

+

81 81

=

145 113

                                                              16′．

点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力和分析问题的能力，属于基础题．