Question

设是公比大于1的等比数列，S_n为数列的前n项和．已知S₃=7,且a₁+3,3a₂,a₃+4构成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列的公比为，
由已知，得 ，  ……………………………………2分
即， 也即
解得    ……………………………………………………5分
故数列的通项为．     ……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴，……8分
又，
∴是以为首项，以为公差的等差数列  ………10分
∴
即．

分析：（1）由{an}是公比大于1的等比数列，S=7，且a+3，3a，a+4构成等差数列，我们不难构造方程组，解方程组即可求出相关基本量，进而给出数列{an}的通项公式．
（2）由b=lna，n=1，2，…，我们易给出数列{b}的通项公式，分析后可得：数列{b}是一个等差数列，代入等差数列前n项和公式即可求出T
解答：解：（1）由已知得：
解得a=2．
设数列{a}的公比为q，由a=2，
可得a=，a=2q．
又S=7，可知+2+2q=7，
即2q-5q+2=0，
解得q=2，q=
由题意得q＞1，
∴q=2
∴a=1．故数列{an}的通项为a=2．
（2）由于b=lna，n=1，2，
由（1）得a=2
∴b=ln2=3nln2又b-b=3ln2
∴{b}是等差数列．
∴T=b+b++b
=
=
=ln2．
故T=ln2．
点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．