Question

【题目】已知抛物线上的点到焦点的距离为．

（1）求，的值；

（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），．（2）直线过定点．

【解析】

试题（1）从题意出发，由抛物线的定义可得，再把点坐标代入抛物线方程可得值；（2）这是直线与抛物线相交问题，由于直线可能与轴垂直，因此设直线方程为，同时设，，由直线方程与抛物线方程联立可消去得的方程，从而可得，再由，可得，这样有，，直线方程为，可见它过定点．

试题解析：（1）由抛物线定义得，，即，

所以抛物线方程为，代入点，可解得．

（2）设直线的方程为，，，

联立，消元得，则，，

由，得，所以或（舍去），

即，即，所以直线的方程为，

所以直线过定点．