Question

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求常数p的值；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=S_n+λa_n，（n∈N*）若数列{b_n}从第二项起每一项都比它的前一项大，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1及把n=1代入到递推公式中2S_n=2pa_n²+pa_n-p可求p
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1，可得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2），两式相减整理可得 （a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
结合已知数列{a_n}各项均为正数可得，an-an-1=

1

2

，由等差数列的通项公式可求
（3）由题意可得数列{b_n}是递增即b_n+1＞b_n对n∈N^*恒成立，由（2）可得Sn=

n(n+3)

4

，bn+1-bn=

(n+1)(n+4)

4

+λ

n+2

2

-(

n(n+3)

4

+λ

n+1

2

)＞0恒成立，化简成λ＞-（n+2）恒成立，从而可求

解答：解：（1）由a₁=1及2S_n=2pa_n²+pa_n-p（n∈N^*），得：2=2p+p-p∴p=1…（4分）
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1①
得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2，n∈N^*） ②
由①-②得   2a_n=2（a_n²-a_n-1²）+（a_n-a_n-1）
即：2（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0∴（a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
由于数列{a_n}各项均为正数，
∴2a_n-2a_n-1=1即  an-an-1=

1

2

（n≥2，n∈N^*）…（6分）
∴数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，∴数列{a_n}的通项公式是   an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

…（9分）
（3）由题意，数列{b_n}是递增的，b_n+1＞b_n，即b_n+1＞b_n对n∈N^*恒成立，
由（2）可得Sn=

n(n+3)

4

，bn+1-bn=

(n+1)(n+4)

4

+λ

n+2

2

-(

n(n+3)

4

+λ

n+1

2

)＞0恒成立，
∴λ＞-（n+2）恒成立，
∴λ＞-3．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解数列的通项公式，要注意对n=1的检验，及利用递推公式构造特殊（等差）数列求通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（最小）项的问题的考查是本题的一个难点．