Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
（ I）求椭圆C的方程；
（ I I）问是否存在直线l：y=

3

2

x+t，使直线l与椭圆C有公共点，且原点到直线l的距离为4？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用题设条件，根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，由此能求出椭圆的方程．
（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，再根据判别式大于0求得t的范围，再利用直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．

解答：解：（1）∵中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
∴c=2，左焦点F′（-2，0），
∴2a=|AF|+|AF′|=

(2+2)2+32

+

(2-2)2+32

=8，
解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=

3

2

x+t，
由

x2 16 + y2 12 =1 y= 3 2 x+t

，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直线l与椭圆有公共点，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，
解得-4

3

≤t≤4

3

，
∵直线OA与l的距离4=

|t|

9 4 +1

，从而t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，
所以符合题意的直线l不存在．

点评：本题考查椭圆方程的求法，判断满足条件的求线是否存在．具体涉及到直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．