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    已知各项不为零数列{an}满足a1=
    2
    3
    ，且对任意的正整数m，n都有am+n=am•an，求：
    （1）
    an
    a1n
    的值；
    （2）(
    a2014
    a2013
    )2014+(
    a2012
    a2011
    )2012+(
    a2010
    a2009
    )2010+…+(
    a4
    a3
    )4+(
    a2
    a1
    )2    的值．
    分析：（1）令m=1，推导出
    an+1
    an
    =
    2
    3
    ，从而得到数列{an}是首项为a1=
    2
    3
    ，公比为q=
    2
    3
    的等比数列，由此能求出
    an
    a1n 
    的值．
    （2）由
    an+1
    an
    =
    2
    3
    ，把(
    a2014
    a2013
    )2014+(
    a2012
    a2011
    )2012+(
    a2010
    a2009
    )2010+…+(
    a4
    a3
    )4+(
    a2
    a1
    )2    等价转化为(
    2
    3
    )2014+(
    2
    3
    )2012+…+(
    2
    3
    )2    ，再由等比数列的前n项和公式能求出结果．
    解答：解：（1）令m=1，得an+1=a1•an，…（3分）
    ∵an≠0，∴
    an+1
    an
    =a1=
    2
    3
    ，…（4分）
    ∴数列{an}是首项为a1=
    2
    3
    ，公比为q=
    2
    3
    的等比数列 …（5分）
    于是an=
    2
    3
    •（
    2
    3
    ）（n-1）=（
    2
    3
    ）n，
    ∴
    an
    a1n 
    =1．…（7分）
    （2）∵
    an+1
    an
    =a1=
    2
    3
    ，
    ∴(
    a2014
    a2013
    )2014+(
    a2012
    a2011
    )2012+(
    a2010
    a2009
    )2010+…+(
    a4
    a3
    )4+(
    a2
    a1
    )2
    =(
    2
    3
    )2014+(
    2
    3
    )2012+…+(
    2
    3
    )2    …（9分）
    =
    (
    2
    3
    )    2    (1-(
    2
    3
    )    2•1007    )
    1-(
    2
    3
    )    2
    …（11分）
    =
    4(1-(
    2
    3
    )    2•1007    )
    5
    …（12分）
    点评：本题考查数列递推公式的应用，考查数列前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列前n项和公式的合理运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•湖北模拟）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=
    x2+a
    bx-c
    (b，c∈N*)    有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)＜-
    1
    2
    ．
    （1）试求函数f（x）的单调区间；
    （2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f(
    1
    an
    )=1    ，求证：-
    1
    an+1
    ＜ln
    n+1
    n
    ＜-
    1
    an
    ；
    （3）设bn=-
    1
    an
    ，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2008-1＜ln2008＜T2007．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动点．如果函数f（x）=
    x2+a
    bx-c
    （b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-
    1
    2
    ．
    （1）试求函数f（x）的单调区间；
    （2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（
    1
    an
    ）=1，求证：-
    1
    an+1
    ＜ln
    n+1
    n
    ＜-
    1
    an
    ；
    （3）设bn=-
    1
    an
    ，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009-1＜ln2009＜T2008．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，如果函数f(x)=
    x2
    ax-b
    （a，b∈N）有且只有两个不动点为0、2，且b＜3．
    （1）求函数f（x）的解析式并写出函数f（x）的定义域；
    （2）已知各项不为零的数列{an}满足：4Sn•f(
    1
    an
    )=1    ，且Sn=a1+a2+…+an，Tn=
    1
    S1
    +
    1
    S2
    +
    1
    S3
    +…+
    1
    Sn
    ，求Tn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=
    x2+a
    bx-c
    （b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（-2）＜-
    1
    2
    ，
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（
    1
    an
    ）=1，求数列通项an；
    （3）如果数列{an}满足a1=4，an+1=f（an），求证：当n≥2时，恒有an＜3成立．

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