Question

设A，B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上．已知△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意，可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列把三个边长都用a，c表示出来，再结合余弦定理即可得到结论．
解答：解：由题，不妨令点C在右支上，则有
AC=2a+x，BC=x，AB=2c；
∵△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，
∴x+2c=2（2a+x）⇒x=2c-4a；
AC=2a+x=2c-2a；
∵AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB；
∴（2c）²=（2c-4a）²+（2c-2a）²-2（2c-4a）（2c-2a）（-）；
∴2c²-9ac+7a²=0⇒2e²-9e+7=0；
∴e=，e=1（舍）．
故答案为：．
点评：本题考查双曲线的简单性质及等差数列的性质，解题的关键是熟练掌握基础知识且能灵活选用基础知识建立方程求参数，本题考查了方程的思想及转化的思想．