Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A与B之间的距离为d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|
（Ⅰ）证明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅱ）证明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数
（Ⅲ）设P⊆S_n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为

.

d

(P)．
证明：

.

d

(P)≤

mn

2(m-1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合S_n的要求．
然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，
因此不影响他们原先的差．
（Ⅱ）先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，
这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次
（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，
很容易得到这样的关系式：h=k+l-2i，从而三者不可能同为奇数．
（Ⅲ）首先理解P中会出现C_m²个距离，所以平均距离就是距离总和再除以C_m²，
而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，
第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位．然后思考，
第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，
等算出来t1(m-t1)≤

m2

4

，一切就水到渠成了．
此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范．

解答：解：（1）设A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈S_n
因a_i，b_i∈0，1，故|a_i-b_i|∈0，1，（i=1，2，…，n）a₁b₁∈0，1，
即A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|）∈S_n
又a_i，b_i，c_i∈（0，1），i=1，2，…，n
当c_i=0时，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|；
当c_i=1时，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）=|a_i-b_i|
故d(A-C，B-C)=

n

i=1

|ai-bi|=d(A，B)
（2）设A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈S_n
记d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
记O=（0，0，…，0）∈S_n，由第一问可知：
d（A，B）=d（A-A，B-A），d=（O，B-A）=k
d（A，C）=d（A-A，C-A）=d（O，C-A）=l
d（B，C）=d（B-A，C-A）=h
即|b_i-a_i|中1的个数为k，|c_i-a_i|中1的个数为l，（i=1，2，…，n）
设t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的个数，则有h=k+l-2t，
由此可知，k，l，h不可能全为奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．
（3）显然P中会产生C_m²个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和．
分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了t_i个1，那么自然有m-t_i个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为ti(m-ti)≤

m2

4

，（i=1，2，…，n），
那么n个位置的总和
即

点评：本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S_n的，其实S_n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．