Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都等于a，E是BB₁的中点．
（1）求直线C₁B与平面A₁ABB₁所成角的正弦值；
（2）求证：平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求点C₁到平面AEC的距离．

Answer 1

（1）解：取A₁B₁中点M，连接C₁M，BM．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴C₁M⊥A₁B₁，C₁M⊥BB₁．
∴C₁M⊥平面A₁ABB₁．
∴∠C₁BM为直线C₁B与平面A₁ABB₁所成的角．
在Rt△BMC₁中，C₁M=a，BC₁=a，
∴sin∠C₁BM==．
（2）证明：取A₁C₁的中点D₁，AC₁的中点F，连接B₁D₁、EF、D₁F．
则有D₁FAA₁，B₁EAA₁．
∴D₁FB₁E．
则四边形D₁FEB₁是平行四边形，
∴EFB₁D₁．
由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴B₁D₁⊥A₁C₁．
又∵平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁于A₁C₁，且B₁D₁?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁．
∵EF?平面AEC₁，∴平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（3）由（2）知，EF⊥平面AC₁，则EF是三棱锥E-ACC₁的高．
由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC₁=a，AC₁=a．
∴EF==a．
∵V=V，设三棱锥V的高为h，则h为点C₁到平面AEC的距离．
则S_△AEC•h=S•EF，
即×a²h=×a²•a．
∴h=a，即点C₁到平面AEC的距离是a．
分析：（1）由题意取A₁B₁中点M，再证明C₁M⊥平面A₁ABB₁，即∠C₁BM是所求的角，在Rt△BMC₁中求解；
（2）取A₁C₁的中点D₁，AC₁的中点F，再证D₁FEB₁是平行四边形和B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，即得EF⊥平面ACC₁A₁，故证出面面垂直；
（3）由（2）知EF是三棱锥E-ACC₁的高，求出EF的长，再利用换低公式和体积相等求出点C₁到平面AEC的距离．
点评：本题考查了用面面垂直的性质定理作出线面角再来求解，用面面垂直的判定定理证明面面垂直，求点到面的距离可用体积相等和换底求解；考查了转化思想和推理论证能力．