Question

【题目】如图，在直角梯形中，,, ，，,点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图），为中点.

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】

（I）证明DG⊥AE，再由面面垂直的性质可得到证明；（II）分别计算DG和梯形ABCE的面积，即可得棱锥体积；（III）过点C作CF∥AE交AB于点F，过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC，可证平面PCF∥平面ADE，故CP∥平面ADE，根据PF∥AD计算的值．

（Ⅰ）证明：因为为中点，，

所以.

因为平面平面，

平面平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）在直角三角形中，易求,则．

所以四棱锥的体积为

．

（Ⅲ） 过点C作交于点，则．

过点作交于点，连接,则．

又因为，平面平面,

所以平面．

同理平面．

又因为，

所以平面平面．

因为平面 ，

所以平面．

所以在上存在点，使得平面，且