Question

（2009•闸北区一模）记数列{a_n}的前n项和为S_n，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．
（1）若{a_n}是等差数列，项数n为偶数，首项a₁=1，公差d=

3

2

，且S″-S′=15，求S_n；
（2）若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，公差d∈N^*，且S′=36，S″=27，请写出所有满足条件的数列；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=1，满足2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*），其中实常数t∈(

3

5

，3)，且S′-S″=

5

2

，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．

Answer 1

分析：（1）{a_n}是等差数列，则S″-S′=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）…（a_2n-a_2n-1）=d+d+…d=d×

n

2

求出n，再利用等差数列前n项和公式计算
（2）{a_n}是等差数列，根据条件，结合（1）判断n是奇数．利用等差数列性质和求和公式，得出

S′

S″

=

k+1

k

=

36

27

，
得出项数，继而分类写出满足条件的数列．
（3）根据Sn与an的固有关系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，得出

an+1

an

=

3(t-1)

2t

，借助于等比数列性质解决．

解答：解：（1）若数列{a_n}项数n为偶数，由已知，得S″-S′=15=

3

2

•

n

2

，（2分）
解得n=20，（1分）
Sn=1×20+

20×19

2

×

3

2

=305．（1分）
（2）假设数列{a_n}项数n为偶数，S″-S′=

n

2

•d＞0与S″-S′=-9矛盾．故数列{a_n}项数n不为偶数，（1分）
设数列{a_n}项数n=2k+1（k∈N），
则S′=a1+a3+…+a2k+1=

a1+a2k+1

2

•(k+1)
∵a₁+a_2k+1=a₂+a_2k，
∴

S′

S″

=

k+1

k

=

36

27

，
解得k=3，项数n=2×3+1=7，（2分）
∵S7=S′+S″=63=7a1+

7×6

2

•d，
∴a₁+3d=9，
∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
当d=1时，a₁=6，此时，a_n=6+（n-1）•1=n+5，
所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．（2分）
当d=2时，a₁=3，此时，a_n=3+（n-1）•2=2n+1
所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．（2分）
（3）在2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）中，令n=1，得a2=

3(t-1)

2t

．
∵2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）①
可得2tS_n-3（t-1）S_n-1=2t（n∈N^*，n＞1）②
①减去②得：

an+1

an

=

3(t-1)

2t

，且

a2

a1

=

3(t-1)

2t

．（2分）
∵

3

5

＜t＜3，
∴0＜|

3(t-1)

2t

|＜1．（当t=1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）
所以，{a_n}是首项a₁=1，公比q=

3(t-1)

2t

的等比数列，且公比0＜|q|＜1．（2分）
设项数n=3，∵S′-S″=

5

2

，
∴1-q+q2=

5

2

，
∴q2-q-

3

2

=0，解得q=

1- 7

2

或q=

1+ 7

2

（舍）
由

1- 7

2

=

3(t-1)

2t

解得t=

7

-2∈(

3

5

，3)
所以，当t=

7

-2时，对应的数列为1，

1- 7

2

，(

1- 7

2

)2．（2分）
设数列{a_n}为无穷数列，
由题意，得S′=

1

1-q2

，S″=

q

1-q2

，
∵S′-S″=

5

2

，
∴

1

1+q

=

5

2

，
∴q=-

3

5

∵

3(t-1)

2t

=-

3

5

，
∴t=

5

7

∈(

3

5

，3)．
所以，当t=

5

7

时，对应的数列为1，-

3

5

，(-

3

5

)2，…，(-

3

5

)n-1，…（2分）

点评：本题考查等差数列前n项和公式及其应用，转化代换的方法．等比数列判定，分类讨论、计算能力．