Question

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
（2）若m=-

5

9

，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）斜率为k₁的直线?₁与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR（O为坐标原点）的斜率为k₂，求证k₁k₂为定值；
（3）在（2）的条件下，设

QB

=λ

AQ

，且λ∈[2，3]，求?₁在y轴上的截距的变化范围．

Answer 1

分析：（1）根据斜率公式得出

y

x+3

•

y

x-3

=m，然后分情况讨论曲线类型；
（2）首先根据（1）求出曲线方程，然后联立直线方程和曲线方程并利用韦达定理得出y₁+y₂，y₁y2，从而求得R的坐标，进而得出k₁k₂的值．
（3）根据

BQ

=λ

QA

得y₂=-λy₁然后代入（2）中①②式，从而得出

1

λ

-2+λ=

16t2

5t2+9

，然后根据

1

λ

-2+λ在λ∈[2，3]上单调递增调得出

1

2

≤

1

λ

-2+λ≤

4

3

，

3

4

≤

5t2+9

16t2

≤2，即可得出结果．

解答：解：（1）设p（x，y）
由

y

x+3

•

y

x-3

=m，得y²=m（x²-9），
若m=-1，则方程为x²+y²=9，轨迹为圆（除A B点）；
若-1＜m＜0，方程为

x2

9

+

y2

-9m

=1，轨迹为椭圆（除A B点）；
若m＞0，方程为

x2

9

-

y2

-9m

=1，轨迹为双曲线（除A B点）．
（2）m=-

5

9

时，曲线C方程为

x2

9

+

y2

5

=1，设?₁的方程为：x=ty+2
与曲线C方程联立得：（5t²+9）y²+20ty-25=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

-20t

5t2+9

①，y1y2=

-25

5t2+9

②，
可得R(

18

5t2+9

，

-10t

5t2+9

)，k1k2=

1

t

•(-

5t

9

)=-

5

9

．
（3）由

BQ

=λ

QA

得y₂=-λy₁代入①②得：(1-λ)y1=

-20t

5t2+9

③，λ

y

2 1

=

25

5t2+9

④，
③式平方除以④式得：

1

λ

-2+λ=

16t2

5t2+9

，
而

1

λ

-2+λ在λ∈[2，3]上单调递增，

1

2

≤

1

λ

-2+λ≤

4

3

，

3

4

≤

5t2+9

16t2

≤2，?₁在y轴上的截距为b，b2=(-

2

t

)2=

4

t2

∈[

28

9

，12]，b∈[-2

3

，-

2 7

3

]∪[

2 7

3

，2

3

]．

点评：本题考查了轨迹方程、函数值域以及直线与圆锥曲线的综合问题，对于直线与圆锥曲线一般联立方程设而不求的方法求解，此题综合性强，属于难题．