Question

设t＞0，已知函数f （x）=x²（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线的斜率为k，当x₀∈（0，1]时，k≥-

1

2

恒成立，求t的最大值；
（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由导数大于0可求单调递增区间，导数小于0可求单调递减区间；
（2）当x₀∈（0，1]时，k≥-

1

2

恒成立，转化为即t≤

3x02+ 1 2

2x0

，x₀∈（0，1]只需求其最小值；
（3）由题意画出图象，用距离相等可求t的值．

解答：解：（1）∵函数f （x）=x²（x-t）=x³-tx²，∴f′（x）=3x²-2tx=x（3x-2t）
令x（3x-2t）＜0，解得0＜x＜

2

3

t，（t＞0）；令x（3x-2t）＞0，解得x＜0，或x＞

2t

3

，
故函数f （x）的单调递减区间为（0，

2t

3

）；单调递增区间为（-∞，0）和（

2t

3

，+∞）．
（2）由题意及（1）知，k=f′（x₀）=3x₀²-2tx₀，x₀∈（0，1]，k≥-

1

2

恒成立
即当x₀∈（0，1]时，3x₀²-2tx₀≥-

1

2

恒成立，即t≤

3x02+ 1 2

2x0

，x₀∈（0，1]
即函数g（x）=

3x2+ 1 2

2x

，x∈（0，1]只需求出其最小值即可，
g（x）=

3x2+ 1 2

2x

=

3x

2

+

1

4x

≥2

3x 2 1 4x

=

6

2

，当且仅当

3x

2

=

1

4x

，
即x=

6

6

∈（0，1]时，取到等号，故g(x)min=

6

2

可得t≤

6

2

故t的最大值为：

6

2

（3）由以上可知f（x）的图由f（

2t

3

）=-

4t3

27

即C（

2t

3

，-

4t3

27

）B（t，0）
由于四边形ABCD为菱形，故|AB|=|BC|即t=

(t- 2t 3 )2+(- 4t3 27 )2

解得t=

3 4 8

2

故t的值为：

3 4 8

2

点评：本题为导数的综合应用，设计单调区间的求解，恒成立问题以及由性质画图象，属中档题．