Question

政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价．a_n表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用b_n表示该企业第n年的产值．a₁=a（万元），且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a（万元）；又设b₁=b（万元），且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.表示企业第n年“对社会的有效贡献率”．
（1）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；
（2）试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？

Answer 1

【答案】分析：（1）因为 a₁=a，b₁=b，根据题意：a₂=a₁+2a=3a，b₂=b₁（1+10%）=1.1b．由此能求出该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”．
（2）因为 a_n=a₁+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N^*），b_n=b₁×（1+10%）^n-1=1.1^n-1b（n∈N^*），，然后再证明：P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数．
解答：解：（1）因为 a₁=a，b₁=b，
根据题意：a₂=a₁+2a=3a，b₂=b₁（1+10%）=1.1b（2分）
所以 （4分）
（6分）
该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%（7分）
（2）因为 a_n=a₁+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N^*）（9分）
b_n=b₁×（1+10%）^n-1=1.1^n-1b（n∈N^*）（11分）
所以 （12分）
下证：P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数                    （15分）
证法1：，
又 P_n＞0，
则 P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数，
证法2：P_n+1-P_n=…=（0.2n+2.1）×1.1^n-1%＞0
∴P_n+1＞P_n
则 P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数
再验证：P₇=13×1.1⁶%≈23.01%＞20%，
P₆=11×1.1⁵%≈17.71%＜20%（17分）
故，从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%（18分）
点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．