Question

如图，在三棱锥中，，，设顶点在底面上的射影为．

（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）根据题意，由于已知条件可知平面，那么利用线面垂直的性质定理得到。
（2）

解析试题分析：证明：（I）方法一：由平面得，
又，则平面，
故，  2分
同理可得，则为矩形，又，
则为正方形，故．  4分
方法二：由已知可得，设为的中点，则，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角， 7分
由已知可得，则，故，则，
又，则，  9分
故，即二面角的余弦值为． 11分
方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，

则，
可得， 7分
则，易知平面
的一个法向量为，设平面的一个法向量为
，则由得， 9分
则，即二面角的余弦值为． 11分
考点：线面垂直的性质定理以及二面角的大小
点评：主要是考查了线面垂直以及二面角的平面角的求解的运用属于基础题。