Question

定义在（0，+∞）的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，x＞1时f（x）＞0．
（1）求f(

1

2

)；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法来求，根据函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），先求出f（1）的值，把1用2×

1

2

表示，再根据函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，求出f（

1

2

）的值．
（2）利用函数单调性的定义来证明，其中当判断f（x₂）-f（x₁）的符号时，把x₂用

x2

x1

x₁表示，再根据函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），即可判断．

解答：解：（1）∵函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）=f（x×1）=f（x）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=0
∴f（

1

2

）=-f（2）=-1
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞ 1
∵x＞1时f（x）＞0，∴f（

x2

x1

）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴y=f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数

点评：本题主要考查了赋值法求抽象函数的函数值，以及抽象函数单调性的证明．