Question

已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|

MA

|=|

MC

|，

GM

=λ

AB

(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则该三角形的重心坐标为G(

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

)）．
（1）求点C的轨迹E的方程．
（2）设（1）中曲线E的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂的直线l交曲线E于P、Q两点，求△F₁PQ面积的最大值，并求出取最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）先设出C的坐标，则G点坐标可得，进而根据

GM

=λ

AB

判断出GM∥AB，根据表示出M的坐标，利用|

MA

|=|

MC

|进而利用两点间的距离公式求得x和y的关系，点C的轨迹方程可得．
（2）由（1）可知焦点坐标，设出直线l的方程，设出P，Q的坐标，把直线与椭圆方程联立消去x，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂的表达式，进而求得|y₁-y₂|表达式，根据三角形面积公式求得三角形面积公式．进而根据均值不等式求得面积的最大值，根据等号成立的条件，求得t，则直线的方程可得．

解答：解：（1）设C（x，y），则G(

x

3

，

y

3

)．
∵

GM

=λ

AB

（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x轴上一点，则M(

x

3

，0)．
又∵|

MA

|=|

MC

|，∴

( x 3 )2+(0+1)2

=

( x 3 -x)2+y2

．整理得

x2

3

+y2=1(x≠0)．

（2）由（1），知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．设直线l的方程为x=ty+

2

，
由（1），知x≠0，∴l不过点（0，±1），∴t≠±

2

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将x=ty+

2

代入x2+3y2=3，(t2+3)y2+2

2

ty-1=0．
∴△=8t²+4（t²+3）=12（t²+1）＞0恒成立．∴y1+y2=

-2 2 t

t2+3

，y1•y2=-

1

t2+3

．
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(t2+1) (t2+3)2

=

2 3 t2+1

t2+3

．
∴S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

|y1-y2|=2

6

t2+1

t2+3

(t≠±

2

)．
∴S△F1PQ=

2 6

t2+1 + 2 t2+1

≤

2 6

2 2

=

3

．
当且仅当t²+1=2，即t=±1时取“=”
所以△F₁PQ的最大值为

3

，此时直线l的方程为x±y-

2

=0．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及直线与圆锥曲线的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．