Question

【题目】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，设，求出点P的轨迹为，即得解；（2）先求出点P的轨迹为，P到平面的距离为，再求出的最小值即得解.

（1）以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，则设，

由得，

所以，

所以若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为.

（2）设点，由得，

所以，

由题得

所以设平面的法向量为，

所以，

由题得，

所以点P到平面的距离为，

因为，

所以，所以点M到平面的最小距离为，

由题得为等边三角形，且边长为，

所以三棱锥的体积的最小值为.

故答案为：(1). (2). ．