Question

函数.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）将的图像向左平移个单位，再将得到的图像横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图像，若的图像与直线交点的横坐标由小到大依次是求数列的前2n项的和。

Answer 1

（Ⅰ）的单调递减区间为；（Ⅱ）．

解析试题分析：（Ⅰ）求函数的单调递减区间，首先对进行恒等变化，将它变为一个角的一个三角函数，然后利用三角函数的单调性，来求函数的单调递减区间，本题首先通过降幂公式降幂，及倍角公式，得到与的关系式，再利用两角和的三角函数公式，得到，从而得到单调递减区间；（Ⅱ）本题由的图像，根据图象的变化规律得到函数的图象；从而求出的解析式，再结合正弦曲线的对称性，周期性求出相邻两项的和及其规律，最后结合等差数列的求和公式即可得到结论．
试题解析：（Ⅰ）

．        4分
令，所以
所以的单调递减区间为．　     6分
（Ⅱ）将的图象向左平移个单位后，
得到．      7分
再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到， 8分解法一：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是
、、、、，则由余弦曲线的对称性，周期性可知，
   9分
所以
 
．                 12分
解法二：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、、、、，则．    9分
由余弦曲线的周期性可知，
；

所以


．        12分
考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；函数的图象变换．