Question

平面内动点M与点P₁（-2，0），P₂（2，0），所成直线的斜率分别为k₁、k₂，且满足．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|．
（1）求k的值；
（2）若点，求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由，可得方程，化简即得点M的轨迹E的方程，从而可得E的曲线类型；
（Ⅱ）（1）由于|AC|=|BD|，所以CD中点就是AB中点，先求AB的中点为，再将l：y=kx+m与（Ⅰ）中方程联立，利用中点坐标公式可求k的值；
（2）利用弦长公式求CD长，再求点N到CD的距离，从而可表示出面积，利用基本不等式求△NCD面积的最大值，从而求出直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），∵，∴，
即
动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（）的椭圆（除去长轴两个端点．）它的方程是．
（Ⅱ）（1）在，AB的中点为
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，即，∵k＞0，∴
点N到CD的距离，=
当且仅当4-m²=m²时等号成立，即，此时△＞0，
所以直线的方程为．
点评：本题主要考查曲线的轨迹方程与轨迹，应注意区分轨迹方程与轨迹，把不满足条件的点舍去．对于直线与曲线的位置关系问题，通常利用联立方程组的方法，一般要借助于根与系数的关系求解．