Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90^o．以AB为直径的圆0交AC于点E点D是BC边的中点，连0D交圆0于点M
（I）求证：O，B，D，E四点共圆；
（II）求证：2DE²=DM·AC+DM·AB

Answer 1

证明：（1）连接BE，则BE⊥EC
又D是BC的中点
∴DE=BD
又∴OE=OB，OD=OD
∴△ODE≌△ODB
∴∠OBD=∠OED=90°
∴D，E，O，B四点共圆．
（2）延长DO交圆于点H
∵DE²=DM·DH=DM·（DO+OH）=DM·DO+DM·OH
∴DE²=DM·（AC）+DM·（AB）
∴2DE²=DM·AC+DM·AB．
分析：（1）做出辅助线，首先证明两个三角形全等，根据三角形三边对应相等，得到两个三角形全等，得到对应角相等，从而得到四边形一对对角互补，即四点共圆．
（2）根据圆的切割线定理，写出DE，DM，DH三者之间的关系，把DH写成两部分的和，然后变化成AC，整理系数得到结论成立．
点评：本题考查三角形全等，考查四点共圆，考查圆的切割线定理，是一个平面几何的综合题目，解题时注意分析要证明的结论与条件之间的关系．