Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A1A=

3

，AB=

2

，AC=2，A₁C₁=1，

BD

DC

=

1

2

．
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求得相关向量的坐标，再求数量积得到线线垂直，进而推知面面垂直，
（Ⅱ）先求得平面BCC₁B₁的一个法向量，再利用向量法求线面角公式求解．

解答：解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B(

2

，0，0)，C（0，2，0），A1(0，0，

3

)，C1(0，1，

3

)，
∵BD：DC=1：2，
∴

BD

=

1

3

BC

．
∴D点坐标为(

2 2

3

，

2

3

，0)．
∴

AD

=(

2 2

3

，

2

3

，0)，

BC

=(-

2

，2，0)，

AA1

=(0，0，

3

)．

CC1

=(0，-1，

3

)，
∵

BC

•

AA1

=0，

BC

•

AD

=0，
∴BC⊥AA₁，BC⊥AD，又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD，又BC?平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）设平面BCC₁B₁的法向量为

n

=（x，y，z），则

n

•

BC

=0，

n

•

CC1

=0即

- 2 x+2y=0 -y+ 3 z=0

，
取y=

6

，
解得=(2

3

，

6

，

2

)cos＜

AA1

，＞=

3 × 2

3 • 12+6+2

=

10

10

因此：AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为

10

10

．

点评：本题主要是用向量的方法来证明线线垂直，体现垂直关系的转化，同时反映出用向量法求角的优越性．