Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）．
（1）当a为何值时，MN的长最小；
（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据MN=PQ=，可求出MN的长，利用配方法即可求出MN的最小值；
（2）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．
解答：解：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，
依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ
∵CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，CP=BQ=a
∴MN=PQ==
∵0＜a＜，
∴a=，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小为；
（2）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α
又AG=BG=，所以由余弦定理有cosα==-
∴面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值为-．
点评：本题考查空间距离的计算，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．