Question

以下四个命题
（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则B=

π

4

（2）设

a

，

b

是两个非零向量且|

a

•

b

=|

a

||

b

|，则存在实数λ，使得

b

=λ

a

；
（3）方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；
（4）a，b∈R且a³-3b＞b³-3a则a＞b；
其中正确的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3

D．4个

Answer 1

分析：①由正弦定理和bsinA=acosB知，sinB=cosB，可得角B的值；
②由于|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，可以得到两向量共线；
③由于函数在定义域上单调递增，得到x-sinx=0至多有一个解，
又知x=0 时，上式成立，得到方程只有这一个解；
④由不等式的性质，即可得到．

解答：解：①由正弦定理知，

a

sinA

=

b

sinB

，即bsinA=asinB，
又由bsinA=acosB知，∴sinB=cosB，则B=

π

4

，故①正确；
②由于|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，则cosθ=±1，
所以两向量

a

，

b

共线，则存在实数λ，使得

b

=λ

a

，故②正确；
③令f（x）=sinx-x，则f′（x）=1-cosx≥0恒成立，
所以x-sinx=0至多有一个解，
因为x=0 时，x-sinx=0，所以只有这一个解，故③正确；
④由于a³-3b＞b³-3a，则a³-b³+3a-3b＞0，
整理得（a-b）（a²+ab+b²+3）＞0，即(a-b)[(a+

1

2

b)2+

3

4

b2+3)＞0，所以a＞b，
由于a＞b，则a²+3＞b²+3，故a（a²+3）＞b（b²+3），整理得a³-3b＞b³-3a，故④正确．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数和不等式的一些性质，我们要对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．