如图.l1.l2是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路.连接M.N两地的铁路是一段抛物线弧.它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1.L2的距离分别是2 km.4km.N到L1.L2的距离分别是3km.9km．(1)建立适当的坐标系.求抛物线弧MN的方程．(2)该市拟在点0的正北方向建设一座工厂.考虑到环境问题.要求厂址到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，l₁，l₂是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L₁对称．M到L₁、L₂的距离分别是2 km、4km，N到L₁、L₂的距离分别是3km、9km．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程．（2）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于

km．求此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）

分析：（1）分别以l₁、l₂为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M，N的坐标可知，设MN所在抛物线的方程把M和N代入即可求得a和c，则抛物线方程可得．
（2）设出抛物线上任一点P的坐标，厂址为点A，进而根据两点间的距离公式表示出|PA|，进而根据|PA|的范围求得x和t的不等式关系，令u=x²，进而求得u的范围，推断出对于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立，设f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），根据t的范围确定-

1-2t

的范围，进而利用△≤0求得t的最小值．

解答：

解：（1）分别以l₁、l₂为x轴、y轴建立如图所示的
平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）
设MN所在抛物线的方程为y=ax²+c，则有

4=4a+c

9=9a+c

，解得

a=1

c=0

∴所求方程为y=x²（2≤x≤3）
（2）设抛物线弧上任意一点P（x，x²）（2≤x≤3）
厂址为点A（0，t）（5＜t≤8），由题意得|PA|=

x2+(x2-t)2

≥

∴x⁴+（1-2t）x²+（t²-6）≥0
令u=x²，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
∴对于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立（*）
设f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），∵5＜t≤8
∴

＜-

1-2t

≤

．
要使（*）恒成立，需△≤0，即（2t-1）²-4（t²-6）≤0
解得t≥

，∴t的最小值为

所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图，l₁、l₂是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l₂上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|=3km，点N到l₁、l₂的距离分别为4km和5km．
（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于

km，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．

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科目：高中数学 来源：2011-2012学年江苏省徐州市丰县修远双语学校高二（上）第二次月考数学试卷（解析版） 题型：解答题